Auf einen neuen Anbieter zu ziehen sollte nicht das Problem sein, unter den Betreibern gibt es Techniken, die den Austausch von Domains einfach ermöglichen. Beim bisherigen Anbieter kündigt man die Domain so, dass sie zum Umzug freigegeben wird, dafür wird ein relativ komplexes Einmal-Passwort generiert. Beim neuen Anbieter meldet man etwa zeitgleich an, dass die Domain umgezogen werden soll, und verwendet dafür dieses Freigabe-Passwort. Den tatsächlichen Umzug regeln dann die beiden Anbieter untereinander ziemlich kurzfristig automatisch.
Jedoch wirst du dann, sobald du die Domain erhalten und auf deinen neuen Webspace verknüpft bekommen hast, neue leere Postfächer anlegen müssen. Die alten können üblicherweise nicht samt Inhalt kopiert werden, jedenfalls würde es mich überraschen, wenn das einfach ginge. Aber es spricht nichts dagegen, dich da von deinem neuen Anbieter noch ein wenig beraten zu lassen.
Was nun die Suche nach einem "relativ unabhängigen" neuen Anbieter angeht ... da weiß ich nicht sicher, was für dich in Frage käme. Vielleicht hetzner.
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Noch kurz zum Thema 1&1: Meine neue Wohnung ist immer noch "offline", noch immer kein Termin zum "Messen". Aber nach allem, was ich je in der c't gelesen habe, liegt es letztendlich wohl am Letzte-Meile-Monopolist in Magenta. Ich rechne stark damit, dass es spätestens Weihnachten 2017 dann FTTH via DNS:NET hier gibt, und dann weg mit den Mützen!